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圆是高中范围内**最早的二次曲线。在高考范围内，做圆相关的解析几何题很少用到联立求解等复杂的代数运算，通常通过数形结合即可解决问题，比如可行域等圆的最值问题，可参考《【代数思维系列】圆的最值问题》。

由于圆具有很多好用的几何性质，接下来我们通过圆的解析几何方法来推导一些关于圆的结论。

曲线系--一个神奇的解析几何工具

曲线系（也称：曲线簇、曲线束）是指具有某种共同性质的曲线的**。比如：

y-1=k(x-2)，表示恒过(2,1)，斜率任意的直线系；

y=2x+b，表示斜率为2，截距任意的平行直线系；

(x-1)²+(y-2)²=r²，表示圆心为(1,2)，半径任意的同心圆系；

(x-a)²+(y-2a)²=a²，表示圆心在y=2x直线上，且与y轴相切的圆系……

等等。

类似椭圆、双曲线、抛物线等也可以写出很多曲线系，都可以运用于解决实际问题。

圆系的运算

曲线系运算有多种组合，在这里我们只讨论线性组合。

设圆C1：x²+y²+D1x+E1y+F1=0；圆C2：x²+y²+D2x+E2y+F2=0

则这两个圆的线性组合为k1C1+k2C2=0，设组合后的曲线为C3。

当k1+k2≠0时

显然由于C3的x²项和y²项的系数相等，故C3也是圆（特殊情况下C3只表示一个点，或不存在）

1.如果两个圆有两个交点，A（x1,y1）、B（x2,y2），则

（1）因为A、B两点坐标代入k1C1+k2C2=0，也能使等式成立，故C3同样过A、B两点。

（2）C3圆心在C1和C2圆心的连线上，特别的，当k1=k2时，C3圆心在C1和C2圆心的中点。

2.如果两个圆相切与点A（x1,y1），则

（1）因为A点代入k1C1+k2C2=0，也能使等式成立，故C3同样过A点。

（2）C3圆心在C1和C2圆心的连线上，特别的，当k1=k2时，C3圆心在C1和C2圆心的中点。

（3）因为C1、C2、C3的圆心与点A都在同一条直线上，故C1、C2、C3都相切于点A，特别的，当C3圆心位于A点时，C3仅表示一个点。

3．如果两个圆没有交点，则C3有可能不存在，暂不讨论。如果存在，其圆心也在C1和C2圆心的连线上。

当k1+k2=0时

则C3表示一条直线，且C3是圆C1和圆C2的根轴，**等幂性。

1.当两个圆有两个交点时，C3为两个圆的公共弦所在直线。

2.当两个圆相切时，C3为共两个圆切点的公切线。

3.特别的，因为同心圆没有根轴，显然，当C1和C2为同心圆时，C3也不存在。

利用圆系推导对称点公式

圆系应用很多，在此不再祥举。接下来尝试利用圆系的运算推导对称点公式。

我们知道，当圆的方程：(x-a)²+(y-b)²=r²中，r=0时，该方程仅表示点（a,b），且当两圆半径相同时，其根轴即为两圆圆心连线的中垂线。利用该性质，则：

①式减②式，即为两点对称轴。

相减后方程为：

显然，上述方程即为Ax+By+C=0

于是有 ：

这个方程组有两个未知数（x2和y2）和三个方程，该方程组很可能无解。但已知定点关于定直线的对称点一定存在，那么问题出在哪呢？

问题出在：Ax+By+C=0与Akx+Bky+Ck=0，表示的是同一条直线，即我们忽略了参数k的存在。于是上述方程组应改写为：

由④、⑤得：

将⑦、⑧代入⑥式，解得：

将⑨式代入⑦、⑧，即有：

文|高见远，转载请注明出处。

点关于直线对称的点的公式（代数思维系列圆系与对称点公式）