负数的定义

认识负数是很重要的一部分，我们先来看看小学教材中普遍是怎样引入负数的（看下图）。

可以看到主要是通过以下几个角度帮学生理解负数

1. 通过零下温度呈现负数（如-20℃）。
2. 通过海拔高度呈现负数（如-200米）。
3. 通过相反方向呈现负数（如西-10米）。
4. 通过收入支出呈现负数（如-100元）。
5. 通过数线标出负数（如下图）。

总的来说，课本是通过“相反意义的量”帮助学生理解负数。其中利用温度计引入负数是教材中主要的例子，但是依靠温度计引入负数会出现新的问题。有了负数之后，自然我们需要比较负数的大小，理解负数的运算。

1. 比较大小中的问题

-20<-5

利用温度来理解就会出现矛盾，零下20度明明更冷，怎么会比零下5度小？

2. 负数运算中的问题

-（-1）=1

-1 （-1）=-2

我们知道两杯100度的沸水倒在一起并不是200度。所以温度计引入负数不能很好的解决这两个问题。

利用海拔高度可以观察到-5米比-20米要高，以此理解比较大小的问题，要比温度计好一些；利用数线上负数的位置比较大小更为直观，孩子们从一年级就知道数线上位置越往右的数越大。

但是 -（-1）=1还是不能严格证明。

最后教材中告诉我们10、2等这样的数都是正数，在这些数前面加上负号“-”的数，如-3、-500等就是负数。

所以教材中并没有严格地给出负数的定义，只是介绍了它的符号写法（看下图）。让学生知道了正数、负数表示具有相反意义的量。

我们发现小学教材是通过“相反意义的量”引入负数，初中教材普遍是怎么样引入的负数我们来看看（看下图）。

初中同样是从“相反意义的量”引入负数，有温度、增长率、收支。告诉我们大于0的数叫做正数，在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数。和小学课本给出的定义是一样的。上期我们提到的主要问题证明“-（-1）=1”到这里还是不能解决。

接着教材在给出有理数的定义后，介绍了数轴的定义（看下图）

数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。小学中定义的数线（或数射线）可以理解为数轴的一部分，因为数线没有强调三要素，所以把数线叫作数轴并不是很严谨。负数比较大小可以从数轴来理解，位置越往右的数越大。

从数轴上可以看到与原点距离是2的点有两个，它们表示的数分别是2和-2。由此教材给出了象2和-2, 5和-5这样，只有符号不同的两个数叫作互为相反数。

在数轴上，分别位于原点两侧，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

由此可知a的相反数是-a，具体来看1和-1到原点的距离是相等的，所以1的相反数是-1，-1的相反数是1。同时我们也知道-1的相反数是-（-1），因此只要证明相反数的唯一性，就可以说明-（-1）=1。

下面我们证明唯一性。（看下图）

从相反数的角度我们知道了-（-1）=1。但这个图片中的证明也是有漏洞的，因为我们还没有证明a (-a)=0，所以从a、b互为相反数得到a b=0逻辑上是有问题的。

这个问题涉及到负数的加减，我们接着看教材是怎么讲解的负数加减法（看下图）。

教材通过方向相反的量，先向右运动5m，再向左移动5m结果仍在起点处，由此得到5 （-5）=0。同理，先向右运动am，再向左移动am结果仍在起点处，由此得到a （-a）=0。

但是这样的推理只是一种理解方式，并不是严格地代数证明。想要给出严格证明还是要从负数的定义入手，如何从代数的角度给负数定义？

我们说到可以从相反数的角度理解-（-1）=1。本期咱们先来看看某版教材向量空间与群中零元与负元的定义。

设V是一个集合， 是V上的二元运算（ ：V×V→V是一个映射）。

若存在0∈V，使得对每个v∈V都有v 0=v，则称0是V中关于 的单位元，既零元。

若对每个v∈V，存在w∈V，使得v w=0，则称w是v的逆元。将w记为-v。既负元。先证明零元与负元的唯一性（下图是在向量空间中的证明）。

思路和图中一样，设0'是另一个零元，w'是v的另一个负元。则有

0'=0' 0=0

w=w 0=w (v w')=(w v) w'=0 w'=w'

由此可得零元与负元的唯一性。

在自然数中，我们知道数字0，就是加法中的零元。

0 1=1

0 2=2

0 3=3

接着我们思考

1 □=0

2 □'=0

3 □''=0

我们把□定义为-1，既 □:=-1。按照这样的定义自然有

-1 -（-1）=0

又有

-1 1=0

再根据负元的唯一性，可得

-（-1）=1

但是这样的定义中小学学生还是会觉得不好理解。我们换个角度思考。因为减法是加法的逆运算。根据上面的加法算式可得

0=1-1

0=2-2

0=3-3

□=0-1

□'=0-2

□''=0-3

我们把 -1:=0-1。也就是把-1定义为0-1。一般地 -a:=0-a。

由此可知

-（-1）=-（0-1）=0-（0-1）=1

也就是说，可以从减法的封闭性来思考，把-1定义为0-1。再运用这个定义来进行推理。可以关注小修哦！

本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。